다각형과 정다각형: 오각형·육각형부터 대각선까지

삼각형과 사각형은 이미 배웠지요? 그런데 세상에는 변이 다섯 개, 여섯 개인 도형도 아주 많답니다. 이렇게 여러 각을 가진 도형을 하나로 묶어 부르는 이름이 바로 '다각형'이에요. 오늘은 다각형과 정다각형, 그리고 대각선까지 천천히 배워 볼까요?

개념/원리

다각형은 곧은 선분(변)으로만 둘러싸인 평면도형이에요. 여기서 아주 중요한 규칙이 하나 있어요. 다각형에는 굽은 선(곡선)이 하나도 없어야 해요. 모든 테두리가 반듯한 선분으로 이어져 있고, 그 선분들이 빈틈없이 둘러싸고 있어야 다각형이랍니다.

다각형의 이름은 변의 수로 정해요. 변이 몇 개인지만 세면 이름을 바로 알 수 있어요.

• 변 5개 → 오각형
• 변 6개 → 육각형
• 변 7개 → 칠각형
• 변 8개 → 팔각형

그리고 한 가지 꼭 기억할 점! 다각형은 변의 수와 꼭짓점의 수가 항상 같아요. 오각형은 변도 5개, 꼭짓점도 5개예요. 육각형은 변도 6개, 꼭짓점도 6개랍니다. 선분이 만나는 자리마다 꼭짓점이 하나씩 생기기 때문이에요.

정다각형은 다각형 중에서도 아주 특별한 도형이에요. 정다각형이 되려면 두 가지 조건을 모두 만족해야 해요.

1. 변의 길이가 모두 같아야 해요.
2. 각의 크기도 모두 같아야 해요.

이 둘 중 하나라도 어긋나면 정다각형이 아니에요. 변의 수에 따라 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형처럼 앞에 '정'을 붙여 불러요.

대각선은 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 곧게 이은 선분이에요. 바로 옆에 붙어 있는 꼭짓점끼리 이으면 그건 변이지 대각선이 아니에요. 한 칸 이상 떨어진 꼭짓점끼리 이어야 대각선이랍니다.

예시로 익히기

먼저 오각형을 그려 볼까요? 점을 다섯 개 찍고, 곧은 선분으로 하나씩 이어서 끝까지 둘러싸 보세요. 변 5개, 꼭짓점 5개가 생기면 성공이에요.

이제 오각형의 대각선을 세어 볼게요. 꼭짓점 하나에서 대각선을 그으면, 바로 옆의 두 꼭짓점(변으로 이어진 이웃)과 자기 자신에게는 그을 수 없어요. 그래서 한 꼭짓점에서 나오는 대각선은 5 − 3 = 2개예요. 꼭짓점이 5개니까 겹치는 것을 빼고 세면 오각형의 대각선은 모두 5개랍니다.

대각선 개수는 공식으로도 구할 수 있어요. 변이 n개인 다각형의 대각선은 n × (n − 3) ÷ 2개예요. 정말 맞는지 함께 검산해 볼까요?

• 사각형: 4 × (4 − 3) ÷ 2 = 4 × 1 ÷ 2 = 2개 ✓
• 오각형: 5 × (5 − 3) ÷ 2 = 5 × 2 ÷ 2 = 5개 ✓
• 육각형: 6 × (6 − 3) ÷ 2 = 6 × 3 ÷ 2 = 9개 ✓

방금 오각형에서 손으로 센 5개와 공식으로 구한 5개가 딱 맞지요? 직접 그려서 세어 보고, 공식으로 확인해 보면 훨씬 재미있어요.

육각형도 그려 볼게요. 점 여섯 개를 찍어 선분으로 둘러싸면 변 6개, 꼭짓점 6개가 나와요. 그중에서 벌집이나 축구공에서 볼 수 있는 것처럼 변의 길이가 모두 같고 각의 크기도 모두 같은 육각형이 바로 정육각형이에요. 정육각형은 한 각의 크기가 모두 120°로 똑같답니다.

흔한 실수

• 곡선이 있으면 다각형이 아니에요. 테두리에 둥근 부분이 조금이라도 있으면 다각형이 될 수 없어요. 원이나, 반달처럼 굽은 선이 섞인 도형은 다각형이 아니랍니다.
• 테두리가 열려 있으면 안 돼요. 선분들이 빈틈없이 완전히 둘러싸여 있어야 다각형이에요.
• 변의 길이만 같다고 정다각형이 되는 건 아니에요. 각의 크기도 모두 같아야 해요. 예를 들어 변의 길이는 모두 같지만 눌린 마름모는, 각이 서로 달라서 정사각형이 아니에요. 길이 조건과 각도 조건, 두 가지를 모두 만족해야 정다각형이랍니다.
• 변과 대각선을 헷갈리지 마세요. 이웃한 꼭짓점을 이으면 변, 이웃하지 않은 꼭짓점을 이으면 대각선이에요.

다각형은 이름이 어려워 보여도 결국 '변을 세는 규칙' 하나면 다 풀린답니다. 오늘 배운 대로 오각형과 육각형을 직접 그리고 대각선을 세어 보면, 어느새 다각형과 아주 친해져 있을 거예요. 잘 해낼 수 있어요!