약분과 통분, 분수 계산의 기본기 다지기

분수 계산이 어렵게 느껴진다면, 사실은 약분과 통분이라는 두 가지 기본기가 아직 익숙하지 않아서일 때가 많아요. 이 두 가지만 손에 익으면 분수를 훨씬 편하게 다룰 수 있답니다. 오늘은 예제를 하나씩 같이 풀어 보면서 천천히 익혀 보아요.

개념/원리

약분은 분수의 분자와 분모를 0이 아닌 같은 수로 나누어 더 간단한 분수로 만드는 것이에요. 분자와 분모를 같은 수로 나눠도 분수가 나타내는 크기는 변하지 않아요. 그래서 모양은 간단해지지만 값은 그대로랍니다.

기약분수는 분자와 분모의 공약수가 1뿐이어서 더 이상 약분되지 않는 분수를 말해요. 약분을 하다가 "이제 더는 같은 수로 나눌 수 없네" 하는 순간, 그게 바로 기약분수예요.

통분은 분모가 서로 다른 분수들의 분모를 같게 만드는 것이에요. 이렇게 같아진 분모를 공통분모라고 불러요. 보통 분모들의 최소공배수를 공통분모로 쓰면 수가 가장 작아서 계산하기 편해요. (두 분모를 그냥 곱해도 통분은 되지만, 수가 커져서 계산이 번거로워질 수 있어요.)

통분하는 방법은 이래요. 각 분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱해 분모를 공통분모로 맞춰 주면 돼요. 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 분수의 크기는 그대로 유지되니까 안심하고 곱해 보세요.

예시로 익히기

먼저 약분부터 연습해 볼까요?

약분 예제 1) 8/12 8과 12의 공약수인 4로 나눠 보아요. 8÷4=2, 12÷4=3이 되지요. 그래서 2/3이 돼요. 2와 3은 더 이상 같이 나눌 수 있는 수(1 말고)가 없으니 기약분수랍니다.

약분 예제 2) 6/9 6과 9의 공약수인 3으로 나눠 보아요. 6÷3=2, 9÷3=3이니까 2/3이 돼요.

약분 예제 3) 15/20 15와 20의 공약수인 5로 나눠 보아요. 15÷5=3, 20÷5=4가 되지요. 그래서 3/4이고, 3과 4는 더 나눌 수 없으니 기약분수예요.

약분 예제 4) 12/18 이번엔 최대공약수인 6으로 한 번에 나눠 볼게요. 12÷6=2, 18÷6=3이니까 2/3이 돼요. 혹시 6이 바로 안 보이더라도 괜찮아요. 먼저 2로 나눠 6/9로 만들고, 다시 3으로 나눠 2/3으로 가도 결과는 똑같아요. 한 번에 나누든 단계별로 나누든 도착하는 답은 같답니다.

이제 통분을 연습해 보아요.

통분 예제 1) 1/2 과 1/3 분모 2와 3의 최소공배수는 6이에요. 1/2=(1×3)/(2×3)=3/6, 1/3=(1×2)/(3×2)=2/6이 되지요. 그래서 3/6, 2/6으로 통분돼요. 2와 3을 그냥 곱해도 6이라 여기서는 최소공배수와 같지만, 최소공배수를 쓰는 습관을 들여 두면 나중에 수가 커지지 않아 편해요.

통분 예제 2) 1/4 과 1/6 4와 6의 최소공배수는 12예요. 1/4=3/12, 1/6=2/12가 되지요. 그래서 3/12, 2/12로 통분돼요. 여기서 4와 6을 그냥 곱하면 24가 되는데, 최소공배수 12를 쓰면 훨씬 작은 수로 계산할 수 있어요.

통분 예제 3) 2/3 과 3/4 3과 4의 최소공배수는 12예요. 2/3=8/12, 3/4=9/12가 되지요. 그래서 8/12, 9/12로 통분돼요. 이렇게 분모를 같게 맞추면 크기 비교도 쉬워져요. 8/12와 9/12는 분모가 같으니 분자만 보면 되는데, 8 < 9 이므로 8/12 < 9/12, 즉 2/3 < 3/4 라는 걸 한눈에 알 수 있어요.

통분 예제 4) 5/6 과 7/8 6과 8의 최소공배수는 24예요. 5/6=(5×4)/(6×4)=20/24, 7/8=(7×3)/(8×3)=21/24가 되지요. 그래서 20/24, 21/24로 통분돼요. 6과 8을 그냥 곱하면 48이 되지만, 최소공배수 24를 쓰면 수를 절반으로 줄여 계산할 수 있답니다.

흔한 실수

1) 분자와 분모를 서로 다른 수로 나누기 약분은 분자와 분모를 똑같은 수로 나눠야 해요. 예를 들어 8/12에서 8은 4로, 12는 3으로 나누는 것처럼 서로 다른 수로 나누면 안 돼요. 그러면 분수의 크기가 바뀌어 버린답니다. 꼭 같은 수로 나눠 주세요.

2) 한쪽에만 곱하기 (통분할 때) 분모를 맞추려고 분모에만 수를 곱하고 분자는 그대로 두면 분수의 크기가 달라져요. 통분할 때는 반드시 분자와 분모에 같은 수를 곱해야 크기가 그대로 유지된답니다.

3) 약분을 끝까지 하지 않기 예를 들어 8/12를 4/6까지만 약분하고 멈추면, 아직 기약분수가 아니에요. 4/6은 다시 2로 나눌 수 있으니, 2/3까지 가야 진짜 끝이에요. "더 이상 같은 수로 나눌 수 없나?"를 한 번 더 확인하는 습관을 들여 보세요.

약분과 통분이 손에 익으면, 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈도 훨씬 수월해져요. 처음엔 조금 헷갈려도 예제를 여러 번 풀다 보면 어느새 자연스러워진답니다. 오늘 연습한 것들을 떠올리며 차근차근 해 보면, 분수가 점점 친해질 거예요.