약수와 배수, 그리고 최대공약수·최소공배수

'약수'랑 '배수'라는 말, 이름이 비슷해서 헷갈리기 딱 좋지요? 하지만 뜻을 한 번만 제대로 잡아 두면 앞으로 나오는 분수 계산까지 훨씬 쉬워진답니다. 오늘은 약수와 배수가 무엇인지부터, 두 수를 함께 놓고 구하는 최대공약수와 최소공배수까지 예제로 하나씩 검산하면서 배워 볼게요.

개념과 원리

먼저 약수부터 알아봐요. 약수는 어떤 수를 나누었을 때 나머지 없이 딱 나누어떨어지게 하는 수예요. 예를 들어 6을 나누어떨어지게 하는 수는 1, 2, 3, 6이에요. 그래서 6의 약수는 1, 2, 3, 6이지요. 여기서 꼭 기억할 점! 어떤 수든 1과 자기 자신은 항상 약수가 돼요. 1은 모든 수를 나누어떨어지게 하고, 자기 자신으로 나누면 언제나 1이 되니까요.

다음은 배수예요. 배수는 어떤 수를 1배, 2배, 3배… 이렇게 곱해서 나오는 수예요. 예를 들어 3의 배수는 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9… 이렇게 이어지니까 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15… 처럼 끝없이 계속돼요. 약수는 개수가 정해져 있지만, 배수는 무한히 많다는 점이 달라요.

이제 두 수를 함께 놓고 볼게요.

• 공약수: 두 수의 약수 중에서 공통으로 들어 있는 약수
• 최대공약수: 공약수 중에서 가장 큰 수
• 공배수: 두 수의 배수 중에서 공통으로 들어 있는 배수
• 최소공배수: 공배수 중에서 가장 작은 수

이름이 길어 보이지만, '공(共)'은 '공통'이라는 뜻이라고 생각하면 쉬워요. 공통 약수 중 최대, 공통 배수 중 최소를 찾는 것이랍니다.

예시로 익히기

말로만 들으면 어려우니, 직접 숫자를 넣어서 구해 볼게요.

① 12의 약수 구하기

1부터 순서대로 12를 나눠서 나누어떨어지는지 검산해 봐요.

12÷1=12 ✓ / 12÷2=6 ✓ / 12÷3=4 ✓ / 12÷4=3 ✓ / 12÷6=2 ✓ / 12÷12=1 ✓

(5, 7, 8, 9, 10, 11로는 나누어떨어지지 않아요.) 그래서 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12예요.

② 18의 약수 구하기

같은 방법으로 검산해 봐요.

18÷1=18 ✓ / 18÷2=9 ✓ / 18÷3=6 ✓ / 18÷6=3 ✓ / 18÷9=2 ✓ / 18÷18=1 ✓

그래서 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18이에요.

③ 12와 18의 최대공약수 구하기

두 수의 약수를 나란히 써 놓고 똑같이 들어 있는 수를 찾아요.

• 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

공통으로 들어 있는 수는 1, 2, 3, 6이에요. 이것이 공약수이고, 그중 가장 큰 6이 최대공약수랍니다. 정말 6이 두 수를 모두 나누는지 검산해 볼까요?

12÷6=2 ✓ / 18÷6=3 ✓

둘 다 딱 나누어떨어지네요! 그래서 12와 18의 최대공약수는 6이에요.

④ 4와 6의 최소공배수 구하기

이번엔 배수를 순서대로 써 봐요.

• 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24 …
• 6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30 …

공통으로 나오는 수는 12, 24, … 예요. 이것이 공배수이고, 그중 가장 작은 12가 최소공배수예요. 12가 두 수의 배수가 맞는지 검산해 봐요.

4×3=12 ✓ / 6×2=12 ✓

둘 다 곱셈으로 딱 12가 되니까 맞아요! 그래서 4와 6의 최소공배수는 12랍니다.

정리하면, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 순서는 이래요.

1. 최대공약수: 두 수의 약수를 각각 모두 쓴다 → 공통인 약수(공약수)를 찾는다 → 그중 가장 큰 수를 고른다.
2. 최소공배수: 두 수의 배수를 작은 것부터 쓴다 → 처음으로 겹치는 수를 찾는다 → 그 수가 최소공배수다.

흔한 실수

배우면서 친구들이 자주 실수하는 부분을 미리 알려 줄게요.

• 약수와 배수를 헷갈려요. '약수는 그 수보다 작거나 같은 수, 배수는 그 수보다 크거나 같은 수'라고 기억해 보세요. 6의 약수(1, 2, 3, 6)는 6을 넘지 않고, 6의 배수(6, 12, 18…)는 6부터 점점 커지지요.
• 1과 자기 자신을 빠뜨려요. 약수를 쓸 때 1과 그 수 자신을 깜빡하는 경우가 아주 많아요. 약수를 쓸 때는 항상 1부터 시작해서 자기 자신으로 끝낸다고 습관을 들이면 좋아요.
• 공약수를 찾을 때 한쪽만 봐요. 최대공약수는 두 수 모두의 약수여야 해요. 예를 들어 4는 12의 약수이지만 18의 약수는 아니니까(18÷4는 나누어떨어지지 않아요) 12와 18의 공약수가 될 수 없답니다.
• 최소공배수를 '두 수를 곱한 값'으로 착각해요. 4와 6을 곱하면 24지만, 최소공배수는 그보다 작은 12예요. 곱한 값이 항상 최소공배수인 건 아니니, 꼭 배수를 써 보고 가장 먼저 겹치는 수를 찾아야 해요.

마무리

오늘은 약수와 배수의 뜻부터 최대공약수와 최소공배수까지 배웠어요. 핵심은 약수는 나누어떨어지게 하는 수, 배수는 곱해서 나오는 수이고, 두 수를 함께 보면 공통 약수 중 최대가 최대공약수, 공통 배수 중 최소가 최소공배수라는 것이에요. 처음에는 약수와 배수를 모두 써 보면서 천천히 찾으면 돼요. 익숙해지면 훨씬 빨리 구할 수 있으니, 오늘 배운 순서대로 여러 숫자로 연습해 보세요!